《电动力学》拾遗

上了一个学期的课，零散的记点下来，仅供以后查询/参考：

教材：郭硕鸿 高等教育出版社

1.是“电-动力学”，不是“电动-力学”，即Electro-dynamics，易成口误，由“四大力学”叫法造成。

2.有涡旋状宏观结构的物理量不一定旋度不为零，换言之，旋度只是局部微分的概念。比如，无限长直导线稳恒电流产生的磁场虽然为涡旋状，但是导线外的任何一点磁场旋度为零，这可以从磁场和r成反比看出，而这又从安培环路定律而来。(导线内的磁场旋度不为0则可以跟水流或台风或者更确切地说-刚体旋转有可比性)P15

3.任意曲线正交坐标系的旋度、散度和梯度以及拉普拉斯符号的一般表达式写法，实际上可以很容易从式子上看出来。但是通常的附录内容或者数理方法书都没有讲到，造成很大障碍。比如证明可以从网上在线找到，地址：http://www.teach.ustc.edu.cn/net_learn/netbooks/mpa/Lecture/ma12np.htm

4.电流密度（矢量）实际上是一个体分布的物理量，而电流线密度（矢量）是一个面分布的物理量，前者用的更广泛一些，后者只在边界条件时用到。但因为叫法为“线”，很容易造成误解，所以有的书上也会把电流线密度叫成电流面密度。

5.电荷守恒定律可以对比电磁场以及电荷系统的能量守恒和动量守恒定律。只是由于无源造成电荷守恒成为齐次表达式，而电磁场由于和电荷相互作用，所以必须把整个系统考虑进来，所以必须考虑洛伦兹力公式。但是表达式以及名称叫法还是一一对应的：电流密度（矢量）-能流密度（矢量）-动量流密度张量。电荷密度（标量）-能量密度（标量）-动量密度（矢量）。

6.电-动力学的理论基础，可以认为是麦克斯韦方程组+洛伦兹力公式。电荷守恒定律当然是更基本的，但是它已经隐含在麦氏方程组里了--这也是麦克斯韦引入位移电流的理由并发现对应于变化的电场。无论如何，麦氏方程只是经验总结的结果。

7.能量的传播不是通过电荷的移动的，即使在一般电子线路中，也是通过电磁场的传播的。这点可以从一般电荷移动速率以及电磁场的边界条件分析做对比看出。

8.静电场的唯一性定理：给定泊松方程和边界条件，电场被唯一确定。电像法是这个定理最生动的应用，而金属屏蔽则是另外一个说明例子。唯一性定理似乎也可以理解为给定静电场的旋度和散度，再给出边界条件，就能确定电场。所以，可以理解为亥姆霍兹定理：当一个矢量的散度和旋度已知时，该矢量被唯一确定，而边界条件确定积分常数。

9.静电场的表达式（或库仑定律）和静磁场的表达式（B-S定律）可以大致看出磁场和电场之间的大小和量纲上的差别--但是量纲上的差别最简单的可由洛伦兹力公式看出--其后再由平面电磁波在真空中传播的结论看出-相差因子光速c。

10.Green函数法也是解微分方程的常用方法（而且应用的范围很广），可惜数理方法课一般不重视，本书也不详讲，但如果后面要讲电磁波的衍射，这里又不得不提。

11.当解泊松方程/拉普拉斯方程以及其他方法无效时，如果电荷分布为小区域，我们可以做电势的多级展开，从这里引入了电单极矩（电荷量），电偶极矩一般表达式（将以前的ql包括进来）以及电多极矩等。电偶极矩对应的电势，《费曼物理学讲义2》上有个很漂亮的理解/看法。这个看法也适用于电四极矩，这样可免于计算公式/或帮助理解。对于一个带电球均匀分布电荷系统，由高斯定理可以看出可作为原点等量电荷处理，而从电多极矩看，则是电偶极矩及以上由于球对称都为0.

以上为第一章～第二章内容

12.引入磁标势会产生一个疑问，因为既然磁场的散度为零（自然界中没发现磁单极），引入磁荷密度只是因为把分子电流等效为磁偶极子，而磁化强度不均匀时，就可能会有磁化电荷出现。但为什么没有把磁化电荷写入磁感应强度B的散度项？以对应于极化电荷对电场也是有贡献的？我猜这里只是因为磁化强度和极化强度是不一样的，前者正比于磁场强度H而非B，而后者正比于电场强度E。

13.极化率为0时，也就是导体的情形，这时导体表面为等势面。这好理解，但是磁化率趋向于无穷时，磁性物质表面为等磁势面如何形象理解？有个好的类比，就是假设导体的自由电荷等效为极化电荷在极化率趋向于无穷大的情形，这样二者完全等价了。

14.电场E和磁场B不能完全描述电磁场，由A-B效应来说明，而A-B效应必须提到所谓的正则动量P=mv-eA,解释起来很麻烦，只能粗略的说，因为由洛伦兹力可以导出拉格朗日方程或者拉氏量/拉格朗日函数，从而导出哈密顿方程中的正则动量的定义式...

15.解释波导中的驻波解和行波解，不如弄个软件来描绘一下图的样子，否则很难说清楚。另外一个困难就是波导壁附近电场、磁场以及电流的方向，解释起来有点麻烦。

16.辐射能流以及电场、磁场的表达式可以从量纲上记忆，而角度的取向，矢量的点乘和叉乘，主要是直角坐标和球坐标之间的变换，解释时最好用数学上投影或点乘规则来理解吧。比如为什么有时cosa=cosb cosr，这实际上就是分量点乘的结果（比如前面P105例2根号里的因子）.

17.考虑了电磁场动量和辐射压力之间的关系，求电磁波各方向入射，对角度求平均值，实际上就是半平面的立体角积分再比上2pai,这和几率是对应的。而结果可以和热统的结果作比较。

以上第3章-第5章。

最后为狭义相对论/SR:

18.用迈克尔逊-莫雷实验来算光程差，书上那个矢量图也许可以换个方向画更好一些。最后的光程差也许应该写成(c^2-v^2)^(1/2)*del_t而非c*del_t 即(1.3）式，不过最后还是可以相等。

19.坐标的洛伦兹变换可以从长度收缩来记忆，比如是x=x'*r^(-1)+vt,因为在x看来，x'应该除以r因子（r=gamma），反之亦然：x'=x*r^(-1)-vt'。但最后还是要用洛伦兹变换矩阵来看，或者四维时空旋转来理解。

20.钟慢效应的相对性，郭本解释的很言简意赅，但也差不多解释完了。但是仍然可以在其的基础上加上其他种种实物做比较，以更生动，略。

21.四维协变量的思路是，由四维坐标x_u -> 四维速度U_u , x_u -> 四维波矢k_u, U_u ->四维电流密度J_u -> 四维势矢量A_u ->最后定义电磁场张量F_uv并把麦克斯韦方程写成2个简洁的四维协变形式。

22.考虑四维速度矢量的时候，那个r=gamma因子的速度是u而非v，而作洛仑兹变换的矩阵里的gamma因子则仍然必须为v，此略。

23.讨论波矢k_u的时候，空间分量的变换对应物理上的光行差公式，第四分量对应多普勒效应。在这里，相对论的多普勒效应忽略r=gamma因子之后，实际上就是经典物理的多普勒效应，但是这里有个小差别--没有分子上的那个效应--因为光速不变--换言之，光速与观察者无关，而一般的机械波，是与观察者运动有关的，因为一般的机械波是要考虑传播的中间媒质的--实际上无论是机械波还是介质中的电磁波仍然可以写出它们的相对论多普勒效应，然后再去传播速度为c，只不过在雷达技术应用中，这种效应一般还用不到。另外，书上是Sigma'系远离Sigma系的时候，如果取theta=0，则有蓝移的结论，这似乎有问题，实际上theta=0对应的恰恰是光源相对于观察者拉近的情况，反之若取theta=pai则表示远离，因为theta一开始就是按书上那么定义的，否则会有相反的困惑--书上对theta的角度解释是错误的。

24.电磁场张量的洛伦兹变换，可以写成矩阵形式，只不过第一个矩阵是洛伦兹矩阵，中间是电磁场张量，随后是一个洛伦兹转置矩阵。这既可以从把一个二阶张量的变换性质和并矢相同，所以考察并矢的各自变换再合写起来看出，也可以把代数形式的第二个洛伦兹矩阵分量互换下标再和矩阵运算规则比较看出。

25.磁场的第一分量B_1在惯性系中具有不变性，这是因为它是电磁场张量F的23分量，比较并矢的变换性质，第2、3分量本来就是不变的。电场的第1分量E_1是不变的，Landau《场论》说这由电磁场张量的反对称张量性质决定（推倒起来很繁琐，我不知道怎么直观理解），这里也可以从张量洛伦兹变换关系直接推来（反而不麻烦），或者假设作为F_14，两者的变换刚好抵消了吧（因为最后得出的系数实际上就是洛伦兹矩阵的行列式）

26.至于电场或磁场的垂直分量，则可以从电磁场张量的下标看出，比如E_2～F_24的变换性质,类比并矢，一个矢量的第2分量在洛伦兹变换中保持不变，而第4分量变换和ict的变换性质是一致的。其他依次类推，所以最后的变换式都和之前的一般矢量的第1分量或第4分量相同。

27.相对论力学部分，计算粒子衰变后的动量、能量或速度，可以由质心系<->实验系之间的洛伦兹变换，而P_uP^u作为指标收缩的标量保持不变来计算，这种方法比书上的要更简洁。Griff的粒子物理对此作了总结性的例子说明。

完。