戴振铎的矢量算符小记

2年前看戴振铎的《电磁理论中的并矢格林函数》里，有个对矢量算符的统一定义，写成P7（1.20）的形式，它把梯度、旋度和散度统一写成微小面积分/体积元的形式，另外，再给出P8的一般正交曲线坐标系的散度和旋度表达式中，它用了3个没有交代的公式(1.24-1.26)，曾一度让我感到困惑。

暑假读了梅向明《微分几何》和黄克智《张量分析》一书，发现后者在用微分几何的观点来讨论张量的时候，在第四章最后也讨论了正交曲线坐标系中的散度、旋度表达式问题，并用微分几何的形式给出了一般正交曲线坐标系的表达式，见P179(4.9.16-4.9.17)。顺带注意到，对于梯度，按定义即可直接给出，另外，戴振铎的(1.25-1.26)式，在此书P177给出了完整的证明。

而戴的(1.24)式，实际上可以用黄的P136的公式(4.1.22)根号g对x^i的偏导来推导，或者，直接把这个(1.24)公式当作微小面元积分和体元做除法，只是分子要乘以3个Lame系数。

梯度、旋度和散度的统一写法，在方能航的《矢量、并矢分析与符号运算法》一书给出了简介证明，实际上会发现那样的写法刚好符合直角坐标系下的表达式。

一直以来只知道一般曲线坐标系的梯度、散度和旋度可以按照几何意义直接推出，微分几何的做法其实统一了这些表达式，而戴引入的这套方法，在他自己说，是因为传统方法不对，主要表现在(1.5a-b)上，但是实际上（1.5a）式中第二个等式并不对，因为一般坐标系下的基矢对坐标变量偏导非0。但是无论如何，他这样做确实简化了很多问题。在用并矢格林函数的时候，是个不错的方案。