密勒指数的解析几何解释

固体物理书，晶体的晶面对应的密勒指数，通常定义为，如果晶面对应的平面在x,y,z轴上的截距为a,b,c，则密勒指数可以写成为(1/a,1/b,1/c)的整数形式。

有的书中附带会说，密勒指数其实就是晶面的法线方向。

今天意识到(汗)，这个应该是解析几何完全可以简单证明的啊。

可是一下子想不起来平面方程时什么样子的，虽然可以写成lx+my+nz+k=0形式再代入3点，几何意义总是不明显，问了一下边上的数学系的，他给出这个结果：
x/a+y/b+z/c=1，代入截距的三个点中任意一个刚好满足等式...汗!

于是马上想到，那么这个平面的法线矢量总是平行于(1/a,1/b,1/c)的，因为这个矢量与平面上的任意矢量(x-x',y-y',z-z')，刚好点乘为0。

所以，引入密勒指数，写成三个坐标轴截距倒数形式，并不是通常书上说的为了防止无穷大形式，而是因为它刚好代表晶面的法线方向。防止无穷大只不过是附带效果。